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最近のエントリ

11:10
11/30

〔追加〕色分けで感じる排他的論理和

　「色分けで感じる排他的論理和」において、集合が5つ、6つになった場合のe、fの線を領域の途中で折り曲げましたが、線に青や黄色の色もつけていることだし、辺にそって描いても大丈夫だということに気づきました。そのほうがきれいな市松模様になってきれいですね！

00:44
11/30

色分けで感じる排他的論理和

　結城浩さんが“はてな日記”においてランチのご注文のお品は奇数個ですねというエントリを書いておられます。わぉ！　このブログの「ランチには、コーヒーか紅茶かオレンジジュースがつきます」に反応＆リンクしていただいてありがとうございますっ！ 　真理値表を書くという発想はまったく思い浮かびませんでした。（野矢茂樹『論理学』では排反的選言に▽の記号をあてて新しく真理関数を定義しているという話を書いている...

09:34
11/29

ブール束とブール環の関係

　ブール環が本当に「単位的可換環」なのかどうかを確かめ中です。 （+）についての結合律 　あっているかどうかはわからないけれど、前回の確かめでとりあえずよしとすることにしました。 （+）についての単位元（零元）…x(+)Ｏ＝xより、Ｏ （+）についての逆元…x(+)x＝Ｏより、x （+）についての交換律…大丈夫だろう、うん。 　乗法・についてはいじっていないのだから、結合律、単位元、交換律ともに大丈夫...

08:45
11/28

「ランチには、コーヒーか紅茶かオレンジジュースがつきます」

　ブール環が本当に環になるかどうかを確かめるべく、まずは排反的論理和(+)（←丸付プラス）の結合律を考えました。ちなみにテキストでは「容易に確かめられる」と書いてあるだけなのです。交換律はともかく、結合律はなんか不安だし。 　(+)についての結合律が成り立つということは、 　　　　　 が成り立つということだから、左右をそれぞれ変形して同じ形にすればいいと考えました。なので、(+)のおおもとの定義x(...

08:20
11/27

「ブール環」ってなんだろう？

　「環」とは何であったか、ソラで言えるだろうか？と試してみましたが、案の定言えやしないし（＾＾；。唯一ぼんやり思い浮かぶのは、「乗法の逆元がないんだったかな…？」ということです。それが思い浮かぶのは、結城浩『数学ガール／フェルマーの最終定理』のおかげです。ちなみに『数学ガール／フェルマーの最終定理』は真夏に出版されましたが、個人的には今の時期に読み始めて12月中旬くらいに読み終わるのが、肌感覚と...

09:01
11/25

「ランチには、コーヒーまたは紅茶がつきます」

　「AまたはB」を「A∨B」や「A∪B」で考えると、Aのみ成立、Bのみ成立、AとBの両方が成立のすべての場合がOKですが、そうでない“または”もあります。 　たとえば喫茶店で「ランチには、コーヒーまたは紅茶がつきます」と言われ、コーヒーと紅茶のどちらか一方しかつけてもらえないのならば、この場合の“または”は「どちらか一方のみ」の意味になります。 　このような“または”を「排反的選言」というそうです。なお、ラン...

09:39
11/21

ブール本人の計算にあるものとないもの

　三段論法の代数化（アリストテレスとブール）の式変形で使っている計算規則は、以下の通りです。 　　A＋B＝B＋A　　交換律 　　AB＝BA　　　　交換律 　　A（B±C）＝AB±AC　　分配律 　　A＝B　ならば　AC＝BC 　　A＝B　ならば　A±C＝B±C 　　0×A＝0 　　1×A＝A ということを頭に入れて、いったん『論理学史』をはなれ、『情報の論理数学入門』に目をうつして「束の公理」を確認します。 　　(1)　結合律　...

09:33
11/19

三段論法の代数化（アリストテレスとブール）

　『情報の論理数学入門』のほうは数学のテキストなので、「○○を束という」「○○をブール束という」「○○をブール環という」という記述はありますが、ブールが何を考え何をしたかは語られていません。一方、『論理学史』のほうは“−史”なので、最初からブール代数の公理を並べて書くようなことはなく、「ブールはこう考え、こうした」「これを見つけていなかった」「これを見つけたのがスゴイ」といった流れで話がすすみます。 ...

14:08
11/18

[数学と論理学の違い

　アリストテレスの三段論法を代数化したブールは、通常の数式計算のように論理の計算を行ったわけですが、何から何まで“同じ”ではないことにももちろん気づいていたそうです。 　例えば「矛盾律」。「Aであり、Aでないということはない」ので、A（1−A）＝0と表せますが、これを展開して整理すると A＝A^2 となります。通常の数式計算では一般には成り立たない式です。それゆれブールはむしろこの式を論理学上の公理として...

07:56
11/17

束 (lattice) の語源

　「ブール」という人がどんな人なのか、「束（そく）」という概念がどんなものかまったく知らなくても、「ブール束」という言葉だけはイヤでもあちこちで目にしていました。とにかく、“ブール”のあとには“束”がつくらしいものという認識でいました。でも、ブールは束論の契機はつくったけれど、束論自体をつくったわけではないという話もきいたことがありました。 　さて、『情報の論理数学入門』では、?.で基礎代数（集合...

14:23
11/15

ハッセの図式と論理学

　『情報の論理数学入門』にも『論理学史』にも「ハッセの図式」というものが出てきます。電話連絡網の矢印の図をすっきり整理したような感じの図です。 　例として、70の約数の集合{1，2，5，7，10，14，35，70}において、「相手を割り切れるかどうか（約数であるか）」のハッセ図を考えてみます（自分で考えたものなので、間違っていたらゴメンナサイ）。 　まず、70の約数の元どうしの対について、表にまと...

09:25
11/13

論理学の歴史におけるブールの位置どころ

　去年の春から夏にかけて論理学に興味をもち、野矢茂樹『論理学』を途中まで読みつつ、気になった言葉であれこれ検索をかけていました。 　 　その作業をしばらく続けてふとわいた素朴な疑問は、「どうして野矢茂樹『論理学』には“ブール”という言葉（人名）が一度も出てこないのだろう？」ということでした（なお、付論として論理回路の話は出てきます）。なぜかというと、検索中に「ブールの論理代数は命題論理学の原型」...

11:49
11/4

「同値」という言葉

　「同値（equivalence）」ときいてまず思い出すのは、命題の同値です。「PならばQ」と「QならばP」が両方成り立つときの「同値」。 　一方、「同値関係」というのは、関係Rに定義された性質のうちの反射的・対称的・推移的の3つの性質を同時にもつような関係のことをいうようです。例としては、三角形の合同・相似や、整数の合同式（整数をある正整数でわったときの余りが等しいmodのほうの合同）などがよく出されるようで...

11:35
11/3

「関係」の定義

　「あの人とあの人ってどういう関係？」や「そんなの関係ねぇ」の“関係”ってなんだろう？とつらつら考えてみるに、国語辞典的には「それぞれ別のもののように見える2つ以上の物事を結びつけていると考えられる何か」または「その事と何かの点でつながりを持つこと」というのが答えになりそうですが、さて数学でいうところの“関係(relation)”（二項関係）とはなんぞやと考えると、一言でいえば「2つの集合X、Yの直積集合X×Yの...

08:34
11/2

電話連絡網の階段な人間模様

　A、B、C、D、Eの5人からなるあるグループでは、A→B→C→D→Eの順序で電話連絡網をまわすことになっています。もし相手が留守の場合は、その人をとばして次の人に連絡をまわすことになっています。 　したがって、AはB〜Dの電話番号を知っていなくてはいけないし、BはC〜Eの電話番号を知っていなくてはならないし、CはD、Eの電話番号を知っていなくてはなりません。そして、自分より前の人にまわすことはないので、自分より前...

23:03
10/31

メルアド交換の市松な人間模様

　A、B、C、D、Eの5人の人が言いました。 A：　私はCさんとEさんのメールアドレスを知っています。 B：　私はDさんのメールアドレスを知っています。 C：　私はAさんとEさんのメールアドレスを知っています。 D：　私はBさんのメールアドレスを知っています。 E：　私はAさんとCさんのメールアドレスを知っています。 　そして全員が、自分のメールアドレスを知っています。 　このとき、メールアドレスを知って...

09:20
10/28

{Φ、{Φ}}　のベキ集合の早口言葉

　空集合の記号は、0に/を重ねたもので表しますが、これはブルバキがタイプライターで重ね打ちしたのが起源なのだそうです（ウィキペディアより）。しかしパソコンの画面では重ね打ちはできないので、Φ（ファイ）で代用することが多いようです。 　先日、ある本を読んでいたら、{Φ、{Φ}}という集合のベキ集合が出てきて、ほんのちょっとくらくらして楽しかったです。ベキ集合というのは、ある集合のす...

12:13
10/27

年季の入った（熱帯魚の）ペットショップ

　金魚の水槽のフィルターをそろそろ交換しなければいけないのだけれど、ネットで注文すると送料がもったいないし、このへんに売っているところあるかしらん？と思って検索をしてみたら、ちょうどいい散歩の距離くらいのところに2件あることがわかりました。 　そういえば、なんか店先に水槽が並んでいたような･･･ 　こういうお店って、ずっと前からそこにあるのに、自分が用事がないと認識しないものですよね〜 　で...

12:23
10/26

水1リットルの重さは1ｋｇであるか？(3)

　おおもとのキログラムの定義は、やはり水からきているようです。1790年頃、フランスにおいて、質量単位のモデルとされたのが「1メートルの10分の1で構成された立方体の升に入った、氷の溶けつつある温度（0度）における水の質量」だったのだそうです。 　考えてみれば、そこにはまず「メートル」があるのですよね。 　フランスでメートル法が制定されたのが1790年で、メートル条約の締結が1875年だそうです。日本が加...

09:15
10/24

水1リットルの重さは1ｋｇであるか？(2)

　水槽の重量を計算するにあたり、最初は「水1リットルの重さはたぶん1?で間違いないよな、だってもともとそういう定義だったよね？」なんておおざっぱなこと考えていました。 　現在のリットルの定義は1dm^3'(立方デシメートル)となっているようです。小学校のでも1リットルますを使って、1辺が10?の立方体の体積、つまり1000?^3と覚えた記憶があります。デシは10分の1だから、10?＝1dmということで、1000?^3＝1dm^3なので...
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